Calculadora black scholes para opções de ações para empregados

ESOs: usando o modelo Black-Scholes.

Uma opção tem um valor mínimo.

Você pode ver que o modelo de valor mínimo faz três coisas: (1) cresce o estoque na taxa livre de risco para o termo completo, (2) assume um exercício e (3) descontos o ganho futuro para o valor presente com o mesma taxa sem risco.

Se esperamos que um estoque obtenha pelo menos um retorno sem risco sob o método do valor mínimo, os dividendos reduzem o valor da opção (como o detentor das opções renuncia a dividendos). Dito de outra forma, se assumirmos uma taxa sem risco para o retorno total, mas alguns dos "vazamentos" de retorno para dividendos, a valorização esperada do preço será menor. O modelo reflete essa menor valorização ao reduzir o preço das ações.

e = constante de Euler (2.718 & # 8230;)

D = rendimento de dividendos.

k = preço do exercício (greve).

r = taxa sem risco.

Não se preocupe com a constante e (2.718 & # 8230;); é apenas uma maneira de compor e descontar continuamente em vez de compor em intervalos anuais.

Black-Scholes = Valor mínimo + Volatilidade.

Podemos entender o Black-Scholes como sendo igual ao valor mínimo da opção mais o valor adicional para a volatilidade da opção: quanto maior a volatilidade, maior o valor adicional. Graficamente, podemos ver o valor mínimo como uma função inclinada para cima do termo da opção. A volatilidade é um "plus-up" na linha de valor mínimo.

Aqueles que estão inclinados matematicamente podem preferir entender o Black-Scholes como tomando a fórmula de valor mínimo que já revisamos e adicionando dois fatores de volatilidade (N1 e N2). Juntos, estes aumentam o valor dependendo do grau de volatilidade.

Black-Scholes deve ser ajustado para ESOs.

Black-Scholes estima o valor justo de uma opção. É um modelo teórico que faz vários pressupostos, incluindo a capacidade comercial total da opção (ou seja, a medida em que a opção pode ser exercida ou vendida na vontade do titular das opções) e uma volatilidade constante ao longo da vida da opção. Se os pressupostos forem corretos, o modelo é uma prova matemática e sua saída de preço deve estar correta.

Existem três diferenças principais entre os ESOs e as opções negociadas de curto prazo (que estão resumidas na tabela abaixo). Tecnicamente, cada uma dessas diferenças viola uma hipótese de Black-Scholes - um fato contemplado pelas regras contábeis no FAS 123. Estes incluíram dois ajustes ou "correções" para o produto natural do modelo, mas a terceira diferença - que a volatilidade não pode manter-se constante ao longo da Anormalmente longa vida de um ESO - não foi abordada. Aqui estão as três diferenças e as correções de avaliação propostas propostas no FAS 123 que ainda estão vigentes a partir de março de 2004.

Preço de opções: modelo Black-Scholes.

A fórmula de Black-Scholes (também chamada Black-Scholes-Merton) foi o primeiro modelo amplamente utilizado para preços de opções. É usado para calcular o valor teórico das opções de estilo europeu usando os atuais preços das ações, dividendos esperados, preço de exercício da opção, taxas de juros esperadas, tempo de vencimento e volatilidade esperada.

A fórmula, desenvolvida por três economistas - Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton - é talvez o modelo de preços de opções mais conhecido do mundo. Foi introduzido em seu artigo de 1973, "O preço das opções e responsabilidades corporativas", publicado no Journal of Political Economy. Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberam o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho na busca de um novo método para determinar o valor dos derivados (o Prêmio Nobel não é dado póstuma, no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel de Black no Modelo Black-Scholes).

O modelo de Black-Scholes faz determinados pressupostos:

A opção é europeia e só pode ser exercida no vencimento. Nenhum dividendo é pago durante a vida da opção. Os mercados são eficientes (ou seja, os movimentos do mercado não podem ser previstos). Não há custos de transação na compra da opção. A taxa de risco e a volatilidade do subjacente são conhecidas e constantes. Os retornos sobre o subjacente são normalmente distribuídos.

Nota: Embora o modelo original de Black-Scholes não considerasse os efeitos dos dividendos pagos durante a vida da opção, o modelo é freqüentemente adaptado para contabilizar os dividendos, determinando o valor da data do dividendo do estoque subjacente.

Fórmula Black-Scholes.

A fórmula, mostrada na Figura 4, leva em consideração as seguintes variáveis:

as opções de preços subjacentes atuais atingem o tempo de preço até o vencimento, expresso em percentual de uma taxa de juros implícita de volatilidade implícita.

O modelo é essencialmente dividido em duas partes: a primeira parte, SN (d1), multiplica o preço pela variação do prémio de chamada em relação a uma alteração no preço subjacente. Esta parte da fórmula mostra o benefício esperado de comprar o subjacente definitivo. A segunda parte, N (d2) Ke - rt, fornece o valor atual de pagar o preço de exercício no vencimento (lembre-se, o modelo Black-Scholes aplica-se às opções européias que podem ser exercidas somente no dia do vencimento). O valor da opção é calculado tomando a diferença entre as duas partes, como mostrado na equação.

A matemática envolvida na fórmula é complicada e pode ser intimidante. Felizmente, você não precisa saber nem mesmo entender a matemática para usar o modelo Black-Scholes em suas próprias estratégias. Como mencionado anteriormente, os comerciantes de opções têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line e muitas das plataformas de negociação de hoje possuem ferramentas robustas de análise de opções, incluindo indicadores e planilhas que executam os cálculos e produzem os valores de preços das opções. Um exemplo de uma calculadora on-line Black-Scholes é mostrado na Figura 5. O usuário insere todas as cinco variáveis ​​(preço de operação, preço das ações, tempo (dias), volatilidade e taxa de juros livre de risco) e clica em "obter cotação" para exibir os resultados.

Calculadora Black-Scholes da ERI.

Dados de entrada.

Opções (valor justo)

Planejamento e Análise de Compensação Executiva Made Easy.

Disclaimer: Esta Calculadora Black-Scholes não se destina como base para decisões comerciais. Nenhuma responsabilidade é assumida por sua correção ou adequação para qualquer propósito. Use por sua conta e risco.

Para saber mais sobre como usar o método Black-Scholes para colocar um valor nas opções de estoque, consulte o curso on-line do Centro de Aprendizado a Distância ERI, Black-Scholes Valuations.

Esta calculadora on-line usa a equação de Black-Scholes para o valor justo de uma opção de compra européia * em um estoque que não paga dividendos, da seguinte forma:

Uma opção de chamada europeia só pode ser exercida no prazo de validade. Isso contrasta com as opções americanas que podem ser exercidas em qualquer momento antes do vencimento.

Uma opção europeia é usada para reduzir as variáveis ​​na equação. Isso é aceitável, uma vez que a maioria das opções de compra de ações da empresa norte-americana não são exercidas até a data de expiração (aquisição). Por quê? Quando um funcionário exerce uma chamada antecipada, ele perde o valor do tempo restante na chamada e cobra apenas o valor intrínseco.

O Instituto de Pesquisa Econômica ERI foi fundado há mais de 25 anos para fornecer pedidos de compensação para organizações públicas e privadas. Os assinantes incluem remuneração corporativa, deslocalização, recursos humanos e outros profissionais, bem como consultores e conselheiros independentes, e administradores do setor público dos EUA e do Canadá (incluindo administradores de pagamento militares, de aplicação da lei, cidade / condado, estaduais, provinciais e do governo federal) .

O Instituto de Pesquisa Econômica da ERI compila os dados mais robustos de salários, custos de vida e pesquisa de remuneração executiva disponíveis, com os dados atuais do mercado para mais de 1.000 setores da indústria. A maioria do Fortune 500 e milhares de outras pequenas e médias empresas dependem de dados e análises de ERI para compensação e planejamento de salários, deslocalizações, determinações de deficiência, apresentações de diretoria e configuração de estruturas salariais de filiais nos Estados Unidos, Canadá e no mundo .

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Black-Scholes Value and Employee Stock Options (Parte 1)

Um Livro Branco do PaperOpter.

As opções de estoque de empregado (ESOs) ainda são uma parte importante dos programas de remuneração de executivos de muitas empresas. Infelizmente, existem dificuldades para determinar com precisão o que valem. O requisito de contabilizar os ESO como despesas nas demonstrações financeiras corporativas aumentou o foco na questão do que eles valem. No entanto, a abordagem para avaliar as ESOs para fins contábeis pode não ser a melhor maneira de olhar para ESOs para outros fins, como decidir quando exercer os ESO's.

De longe, o modelo mais conhecido para avaliar opções de estoque é o modelo Black-Scholes. Foi desenvolvido por Fisher Black, Myron Scholes e Robert Merton, e publicado em um artigo escrito por Black e Scholes em conjunto e outro escrito por Merton em 1973. Scholes e Merton receberam o Prêmio Nobel de economia em 1997 por este e trabalho relacionado; Black, sem dúvida, também foi tão honrado se ele não tivesse morrido em 1995.

Uma opção de estoque de compra é uma opção para comprar uma ação especificada a um preço especificado, enquanto uma opção de compra de estoque é uma opção para vender uma ação especificada a um preço especificado. A fórmula Black-Scholes é para o valor de uma opção de chamada. O valor de uma opção de venda pode ser inferido a partir do valor da opção de chamada correspondente com base em um conceito chamado paridade de chamada. Os ESOs são sempre opções de chamadas, no entanto.

O modelo de Black-Scholes faz determinados pressupostos, o mais importante para nossos propósitos é o seguinte:

A opção é europeia, ou seja, exercitável apenas no vencimento. O estoque não paga dividendos. O preço das ações segue um processo de caminhada aleatória lognormal, também conhecido como um processo geométrico de movimento browniano, com deriva.

Cada uma dessas premissas é discutida com mais detalhes abaixo.

Os ESOs são opções americanas, ou seja, exercitáveis ​​a qualquer momento, uma vez que tenham sido adquiridas. O valor de uma opção americana é sempre pelo menos tão grande como a de uma opção européia que é idêntica em todos os outros aspectos. No entanto, a diferença de valor geralmente é bastante pequena. Não haverá nenhuma diferença para uma opção não-ESO se o estoque não pagar dividendos, pois, nessas circunstâncias, é sempre otimizado esperar até o vencimento para exercer. A razão pela qual isso é ótimo será explicada mais tarde, após o conceito de valor de tempo ter sido introduzido.

Pode ser ótima para exercitar uma opção não-ESO americana cedo se o estoque pagar dividendos, mas geralmente somente se o rendimento do dividendo for alto e o estoque estiver prestes a pagar seu último dividendo antes do vencimento. Os procedimentos utilizados para calcular o valor de uma opção americana são consideravelmente mais complicados que o cálculo de um valor Black-Scholes (BSV), o usuário teria que inserir um cronograma de pagamento de dividendos, e a diferença entre o valor resultante e o BSV correspondente geralmente seja bastante pequeno, então o StockOpter usa o BSV ao invés de procedimentos projetados para avaliar as opções americanas.

O valor de uma opção em uma ação que paga dividendos é menor do que o valor seria se o estoque não pagasse dividendos, sendo todos iguais, desde que haja pelo menos uma data de pagamento de dividendos antes do vencimento. Isso é devido ao preço das ações que deverá diminuir aproximadamente o pagamento do dividendo quando esse pagamento for feito. A StockOpter ajusta o BSV para dividendos, mas o faz de maneira aproximada que exige como entrada somente o valor anual do pagamento de dividendos e não o cronograma de pagamento de dividendos. A aproximação funcionará melhor quando a opção estiver relativamente longe da expiração.

O modelo lognormal de caminhada aleatória para o comportamento do preço de um estoque é um modelo padrão do setor que foi encontrado para funcionar bem na prática. Baseia-se, em parte, no pressuposto de que o mercado de ações é eficiente, ou seja, que o preço das ações em um determinado momento reflete toda a informação disponível nesse momento. Os preços das ações mudam por razões, mas as mudanças que estão prestes a acontecer serão devido a novas informações, que, por definição, não podem ser previstas antes do tempo. É interessante que a própria atividade de negociação parece ser um dos principais contribuintes para a volatilidade dos preços das ações; evidentemente, uma das informações relevantes para o preço das ações é o que outros participantes do mercado estão fazendo. A parte "com deriva" da descrição do modelo refere-se ao fato de que ao longo do tempo os preços das ações tendem a aumentar. Para uma discussão mais detalhada sobre o modelo de caminhada aleatória normal, por favor, reveja o white paper sobre este tópico aqui.

Para os ESOs, o proprietário da opção pode saber informações significativas sobre sua empresa não disponível para outros investidores e, portanto, tem um pouco melhor sentido de onde o preço das ações pode estar indo do que o modelo de caminhada aleatória lognormal. Os proprietários do ESO devem tentar evitar ter demasiada confiança nisso, no entanto.

O BSV de uma opção pode ser considerado como consistindo em duas partes aditivas, ou seja, seu valor intrínseco (IV) e seu valor de tempo (TV). O IV é facilmente compreendido; É o valor pelo qual a opção está no dinheiro. É o maior do preço atual da ação menos o preço de exercício e zero. Também é conhecido como o valor do dinheiro.

A TV é um pouco mais complicada. Considere uma opção que é um pouco fora do dinheiro e está longe da maturidade. Você estaria disposto a pagar alguma coisa por essa opção, mesmo que sua IV seja zero? Claro que sim, uma vez que existe uma chance significativa de que a opção esteja no dinheiro no vencimento. Neste caso, o que você gostaria de pagar é totalmente TV.

Agora, considere uma opção que é um pouco no dinheiro e está longe da maturidade. Você agora tem algum IV em risco, mas não muito. Você poderia perder isso, mas você também poderia ganhar muito se o preço das ações aumentar consideravelmente. Assim, você estaria disposto a pagar substancialmente mais do que o IV para a opção, com a diferença de ser a TV.

Essas idéias são ilustradas no seguinte gráfico:

Enquanto o preço atual for inferior ao preço de exercício (à esquerda de 100% no gráfico acima), o IV é zero. Quanto maior for o preço atual, maior será o BSV, que nesta faixa é composto por TV. A TV é maior quando o preço atual da ação é maior nesse intervalo, porque quanto maior o preço, tanto mais provável é que a opção estará no dinheiro no vencimento e, ainda mais, no dinheiro, é provável que seja se for no dinheiro no vencimento.

Uma vez que o preço atual se torna acima do preço de exercício, continua a ser verdade que quanto maior for o preço atual, maior será o BSV. No entanto, neste intervalo, o aumento de BSV é inteiramente devido ao aumento na IV; A TV realmente diminui à medida que o preço atual sobe. A diminuição da TV deve-se a ter cada vez mais IV que pode ser perdida se o preço cair compensando o ganho potencial em IV se o preço subir. Quando a opção está muito longe no dinheiro, é praticamente certo que a opção expirará no dinheiro e será exercida, e a economia se tornará essencialmente a mesma coisa que ter comprometido irrevogavelmente com a compra do estoque pelo preço de exercício na data de vencimento . Aqui, o único valor de tempo restante é devido a adiar o pagamento do preço de exercício. Se alguém não desconta o preço de exercício, o valor do tempo se torna essencialmente zero quando a opção está longe no dinheiro, conforme mostrado no gráfico a seguir:

Se uma opção for uma opção não ESO americana em um estoque que não pague dividendos, nunca será ótimo exercitar-se com antecedência. Se alguém se exercita com antecedência, receberá apenas o IV e não a TV. Pode-se ter uma série de razões para querer deixar de possuir a opção, mas a melhor maneira de conseguir isso é vender a opção a outra pessoa, e assim receber o BSV completo, não apenas o IV. Isso inclui a possibilidade de vender uma opção que está fora do dinheiro, e para o qual o BSV, portanto, é composto inteiramente por TV.

Entradas para BSV e seus efeitos.

Um BSV é calculado usando estas entradas:

O preço de exercício da opção (o preço ao qual você pode comprar o estoque se você exercer a opção) O preço atual da ação. A taxa de juros anualizada e sem risco contínua anualizada. O tempo até o vencimento em anos. A volatilidade anualizada do preço das ações. Esta é uma medida da variabilidade do preço do estoque. Para uma discussão mais detalhada sobre a volatilidade, reveja o white paper sobre este tópico aqui.

O preço de exercício e o preço atual são os únicos determinantes do IV de uma opção. Os valores relativos dessas duas entradas também afetam a TV de uma opção, conforme descrito na seção anterior.

A taxa de juros livre de risco afeta a TV de uma opção de duas maneiras:

É usado para a taxa esperada de aumento no preço das ações. Ele é usado para descontar o valor médio ponderado de probabilidade da opção no vencimento do prazo de validade até hoje.

Pode-se pensar que, para ambos os propósitos, um prêmio de risco deve ser adicionado à taxa livre de risco. Isso é correto, em princípio, mas, na prática, isso não é necessário, porque o erro devido à saída para um uso cancela o erro devido a deixá-lo fora para o outro uso. Isso é afortunado, porque, como resultado, pode-se ignorar as diferenças no apetite de risco entre diferentes investidores. Quanto maior a taxa de juros livre de risco, maior será a TV, devido a ambas as formas em que afeta a TV.

A taxa de juros anualizada sem risco é multiplicada pelo tempo até o vencimento em anos em todos os três lugares que aparece na equação de BSV. Assim, quanto maior o tempo até a expiração, maior será a TV, pelas razões acima indicadas para os efeitos da taxa de juros livre de risco. No entanto, o tempo até a expiração também afeta a TV por um terceiro motivo que é muito mais poderoso do que os outros dois. O valor do tempo vem predominantemente do potencial de mudança no preço da ação desde o momento até o vencimento da opção. Quanto maior o tempo até a expiração, maior será o preço potencial e, portanto, maior será o valor do tempo.

O efeito da volatilidade na TV está intimamente relacionado com o efeito principal do tempo até o vencimento, mas o efeito é ainda maior. Quanto maior a volatilidade do preço das ações, maior a mudança de preço potencial e, portanto, maior será o valor do tempo.

Há uma série de razões pelas quais o verdadeiro valor de um ESO deve ser diferente do seu BSV. Esses incluem:

Os ESOs são opções americanas, enquanto o BSV é para opções européias. O BSV é para ações que não pagam dividendos. Os ESOs estão sujeitos à aquisição de direitos. O prazo em que os ESOs podem ser exercidos geralmente se torna muito curto se o proprietário da opção deixar a empresa involuntariamente. O dono da opção não recebe nada para opções não exercidas se o proprietário da opção deixar a empresa voluntariamente, então o proprietário da opção deve exercer quaisquer opções adquiridas no dinheiro antes de sair. Normalmente, os ESOs não são comercializáveis.

Os dois primeiros pontos acima devem ter efeitos relativamente pequenos. O fato de que os ESOs são opções americanas, enquanto o BSV é para opções européias, deve tornar o valor de um ESO maior do que o seu BSV quando esse efeito for considerado isoladamente. Este efeito geralmente será pequeno, no entanto, e será zero se o estoque não pagar dividendos. Quanto aos dividendos, o StockOpter usa uma forma modificada de BSV que incorpora seus efeitos, embora de forma aproximada.

O fato de os ESOs estarem sujeitos à aquisição de direitos deve ter um impacto dramático sobre os valores de opções que ainda não foram adquiridas e nenhum impacto nos valores de opções que já são adquiridos. Se alguém assumir que o proprietário da opção permanecerá com a empresa, o fato de que o proprietário da opção não pode exercer a opção imediatamente faria a opção intermediária entre o americano e o europeu e, assim, melhoraria a precisão de usar o BSV. No entanto, o proprietário da opção geralmente não receberá nada para a opção se o proprietário da opção deixar a empresa. O valor de uma opção não devolvida deve ser aproximadamente seu valor se fosse certo conquistar a probabilidade de que ele ganhará, mas ambas as entradas seriam difíceis de calcular.

O proprietário da opção ter que exercer suas opções adquiridas mais ou menos imediatamente ou perdê-las se o proprietário da opção deixar a empresa reduz o valor de um ESO adquirido. O proprietário da opção pode receber o IV exercitando-se imediatamente, então isso coloca um andar sobre o valor de um ESO investido. O BSV seria uma boa aproximação se o proprietário da opção continuasse a ser um funcionário até a data de validade e não desejaria exercer o início por algum outro motivo, portanto o BSV é um limite aproximado do valor de um ESO investido. O valor real seria difícil de calcular.

O fato de que os ESOs não são negociáveis ​​significa que qualquer cálculo do valor de um ESO não pode ser empiricamente validado ou invalidado em comparação com um valor no mercado. Outro resultado de que os ESOs não sejam comercializáveis ​​é que pode fazer sentido fazer exercícios com antecedência, como vender a opção a outra pessoa e assim receber a TV, além da IV que o dono da opção receberia em ambos os casos, não é uma opção. Razões para se exercitarem cedo incluem a necessidade do dinheiro imediatamente por uma despesa ou se deseja diversificar.

Dadas todas essas limitações, por que calcular o BSV e dividi-lo em IV e TV? Vale a pena fazê-lo porque IV e TV podem ser insumos úteis para tomar decisões. BSV será, e IV pode ser, uma superestimação do valor de um ESO não levado, mas, uma vez que é desviado, é uma especulação ociosa de qualquer maneira. O que acontece com esses valores é de interesse para o proprietário da opção, mas o proprietário da opção não tem decisões de exercício a serem feitas. Uma vez que um ESO tenha adquirido, no entanto, o IV pode ser alcançado através do exercício, por isso torna-se importante nas decisões do dia-a-dia de se exercitar. Se o proprietário da opção exercer o ESO antes da data de expiração, ele ou ela, em algum sentido, perderá a TV, então isso também se torna importante nas decisões de exercício. Quanto menor a TV de uma opção no dinheiro, menos o proprietário da opção está desistindo ao se exercitar cedo.

O valor da TV deve ser descontado nesta deliberação se o proprietário da opção considerar provável que ele ou ela deixe a empresa significativamente antes da data de validade do ESO. Pode-se experimentar com isso substituindo datas anteriores pela data de validade real e vendo a redução associada na TV.

A parte 2 deste white paper é detalhada e pode ser encontrada aqui.

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Depois de adicionar volatilidade e depois subtrair-se por um prazo reduzido de vida esperada e confisco esperado, estamos quase de volta ao valor mínimo! Black-Scholes e outros modelos similares fornecem valores teóricos para o custo da opção para a empresa ou o limite superior para o valor da opção para o empregado. O entrevistado típico tinha recebido opções três vezes por sua empresa atual e tinha exercido opções uma vez. A fórmula atual pode ser vista aqui. Esta Calculadora Black-Scholes não se destina como base para decisões comerciais. Implicações para as empresas É difícil acreditar que as opções de estoque têm o efeito desejado no comportamento dos funcionários se os funcionários não entendem a economia básica das opções de compra de ações. Uma metodologia de avaliação comum é a abordagem Black-Scholes, que é fácil de calcular com programas amplamente disponíveis e fornece uma indicação razoável do custo esperado para a empresa conceder uma opção de compra de ações.

Vídeo por tema:

Calculando o valor da opção de compra de ações do CEO (usando o modelo de precificação da opção Black-Scholes)

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